PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Una sucesión de números se dice que es una progresión aritmética
cuando cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo, llamado
diferencia de la progresión. Por tanto, en una progresión aritmética, la
diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma. En
consecuencia, una progresión aritmética queda determinada dando cualquier
término y la diferencia.
2, 5, 8,
11, 14,...
son ejemplos de sucesiones. En la sucesión (1), el primer término
es 2, el segundo término es 5, etc. Puede observarse que cada término se
obtiene sumando 3 al término anterior. En la sucesión (2), el primer término es
3 y el cuarto es 24, y cualquier término puede obtenerse duplicando el
anterior. Una sucesión es finita si contiene un número limitado de
términos, es decir, si la sucesión tiene un último término. Si no hay un último
término en la sucesión, se denomina sucesión infinita. Los términos de una
sucesión se denotarán por T1, T2, T3, etc. Así, por ejemplo, T7 denotará al
séptimo término, T10 al décimo y Tn al n-ésimo término.
•El primer termino es el primer número y se denota con la letra a
• La diferencia algebraica entre cada término y el anterior
se denomina diferencia común y se denota por d.
• El n-ésimo término de una sucesión por lo regular se
conoce como el término general (Tn).
Para hallar el n-ésimo término se
utiliza la fórmula:
Tn = a + (n - 1)d
Ejemplo:
Dada la sucesión 1,5,9,13,…
a.Calcular
el termino 9
b.El
n-ésimo término
c. Realizar la expresión
Solución:
a= 1 T9=
1+ (9-1)(4) Tn=
1+ (n-1)4
d= 5-1=4 =
1+ ( 8 )( 4 ) Tn=
1+( 4n-4)
=
1+ 32
Tn= 4n-3
= 33
Suma
de Términos:
El objetivo es encontrar una fórmula que
nos permita calcular la suma de los primeros términos de una progresión
aritmética sin necesidad de calcularlos.
Para encontrar la suma de los primeros n términos
de una serie aritmética use la fórmula:
Sn= n/( 2) [2 a + (n-1) d]
Ejemplo:
Calcule la suma de los 30 primeros
términos de la progresión
2+5+11+14+…
a= 2
d= 5-2=3
n= 30
S20 = 30/( 2) [2.2 +
(30-1)3]
= 15 [4+(29)(3)]
= 15 [4+87]
= 15 [91]
=
1.365
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:
Una sucesión de términos se dice que están
en una progresión geométrica (PG) si la razón de cada termino al termino
anterior es siempre la misma.
Esta razón constante se denominará razón
común de (PG).
Se utiliza la formula Tn=〖ar〗^(n-1)
Ejemplo:
Determine el noveno término y n-ésimo de
la sucesión 3,6,12,24
r = 24/12 = 2
T9 = 3 〖(2)〗^(9-1)
T9 = 3 〖(2)〗^8
T9 = 3 (256)
T9 = 768
Suma de n- términos de la (PG)
El objetivo es sumar los primeros n- términos
de una progresión geométrica.
Se utiliza la formula Sn =(a(1-r^n))/(1-r)
Ejemplo:
Calcule la suma indicada de las siguientes
sucesiones:
2+6+18+54+…,12 términos
r = 54/18 =
3
a=2
Sn =(a(1-r^n))/(1-r)
S12 =(2(1-3^12))/(1-3)
S12 =531.440
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